고려고 고2수학과외

첫 줄을 쓰지 못하던 수열 문제에서 시작한 고2 수학 공부

고려고 고2수학과외를 시작한 학생은 문제집을 펼치는 시간에 비해 실제로 다시 풀어 보는 문제는 많지 않았습니다. 기본 예제와 공식 암기는 어느 정도 되어 있었지만, 수열 문제가 조금만 다르게 출제되면 연필을 들고도 첫 식을 만들지 못했습니다. 답지를 보면 풀이가 이해됐고, 그때는 자신이 몰랐던 것이 많지 않다고 생각했지만 며칠 뒤 같은 문제를 다시 풀면 또 같은 자리에서 멈추는 상황이 이어졌습니다.

공식을 몰라서가 아니라 규칙을 읽는 순서가 문제였다

처음 몇 문제를 함께 확인할 때 학생은 등차수열인지 등비수열인지부터 판단하려고 했습니다. 하지만 주어진 항 사이의 관계가 단순한 한 가지 공식으로 바로 정리되지 않는 문제에서는 유형 이름을 찾는 데 시간을 다 쓰고 있었습니다. 앞의 항을 직접 적어 보거나 항 사이의 차이와 비를 비교하는 과정도 생략한 채, 기억나는 공식을 먼저 대입하려 했던 것입니다.

수업에서는 문제를 보자마자 일반항을 쓰지 않도록 했습니다. 먼저 주어진 항이 무엇인지, 구해야 하는 값이 항인지 합인지, 일정하게 변하는 관계가 있는지를 짧게 표시하게 했습니다. 학생이 “이건 등차수열 같아요”라고 말했을 때도 바로 맞다고 하지 않고, 실제 항 몇 개를 나열해 그 판단을 확인하도록 했습니다. 규칙이 맞지 않으면 어떤 정보가 추가로 필요한지 말하게 하면서 유형을 외우는 습관보다 관찰하는 시간을 늘렸습니다.

풀이를 보고 이해한 것과 혼자 재현하는 것은 달랐다

학생은 답지를 읽을 때에는 풀이의 각 단계에 고개를 끄덕였습니다. 그러나 답지를 덮으면 첫 번째 식을 어디서 가져와야 하는지 설명하지 못했습니다. 그래서 수업 중에는 완성된 풀이를 베껴 적는 대신, 한 문제의 풀이를 세 부분으로 나누어 보았습니다. 조건에서 확인한 내용, 그 내용을 식으로 바꾼 부분, 마지막 계산으로 얻은 값을 각각 구분한 뒤 한 단계씩 가리고 다시 작성하게 했습니다.

처음에는 한 문제를 푸는 시간이 오히려 길어졌습니다. 학생은 빨리 다음 문제로 넘어가고 싶어 했지만, 풀이의 출발점을 자신의 말로 설명하지 않으면 다음 유형에서도 같은 문제가 생겼습니다. 예를 들어 특정 항들의 합을 구하는 문제에서는 공식을 먼저 고르는 대신, 항의 범위와 개수를 표시하고 왜 그 공식이 필요한지 한 문장으로 적게 했습니다. 계산이 맞더라도 그 이유를 말하지 못하면 풀이를 끝낸 것으로 보지 않았습니다.

고2 수학에서는 공식을 더 많이 기억하는 것보다, 문제의 조건이 어떤 식으로 바뀌어야 하는지 읽어 내는 연습이 먼저 필요한 경우가 있습니다.

오답노트를 채우는 대신 다시 풀 문제를 골랐다

이전에는 틀린 문제를 모두 오답노트에 옮겼습니다. 그 결과 노트는 두꺼워졌지만, 다시 펼쳐 보는 일은 거의 없었습니다. 고려고 고2수학과외 과정에서는 문제를 옮겨 적는 양을 줄이고 오류의 종류만 기록했습니다. 규칙을 잘못 판단한 문제, 조건을 빠뜨린 문제, 식은 맞았지만 계산에서 틀린 문제를 서로 다른 기호로 표시했습니다.

그중에서도 답지를 본 뒤에는 풀 수 있다고 생각했지만 혼자 시작하지 못한 문제를 따로 모았습니다. 수업이 끝난 뒤 바로 다시 풀게 하지 않고 이틀 정도 지난 후 풀이 없이 재시도하게 했습니다. 처음에는 같은 문제를 다시 보는 것을 지루해했지만, 재풀이에서 첫 식을 만들지 못한 이유가 드러나면서 자신이 단순히 계산을 틀린 것이 아니라 문제를 읽는 과정에서 막혔다는 점을 받아들이기 시작했습니다.

내신과 모의고사 준비를 한꺼번에 늘리지 않기

고2 수학 내신을 준비할 때에는 학교 수업에서 다룬 정의와 예제를 먼저 확인하고, 그 뒤에 변형 문제를 선택했습니다. 문제집을 여러 권 병행하지 않고 한 권에서 틀린 문제와 설명하지 못한 문제를 우선 재검토했습니다. 시험 범위가 정해진 기간에는 수열 관련 문제를 무작정 많이 추가하기보다, 조건을 읽고 식을 세우는 유형을 짧게 나누어 반복했습니다.

반면 평소에는 고2 모의고사 수학 문제를 매주 조금씩 풀며 낯선 표현에 익숙해지는 시간을 남겨 두었습니다. 내신 준비가 시작됐다고 모의고사 공부를 완전히 중단하지 않았고, 시험이 끝난 뒤에는 틀린 문제를 다시 유형별로 분류했습니다. 모의고사 문제에서 어려운 문항만 붙잡는 대신, 앞부분에서 조건을 잘못 읽거나 계산을 생략한 문제를 먼저 점검했습니다.

아직 남아 있는 과제는 풀이를 끝까지 설명하는 일

몇 주가 지나자 학생은 수열 문제를 보며 바로 공식을 찾기보다 주어진 항과 요구값을 먼저 표시하게 됐습니다. 답지를 확인하기 전 다시 시도하는 시간도 조금씩 생겼고, 틀린 문제를 모두 개념 부족으로 단정하지 않게 됐습니다. 다만 낯선 문제가 길게 제시되면 필요한 조건을 찾는 데 여전히 시간이 걸리고, 풀이가 맞아도 중간 근거를 생략하는 습관은 남아 있습니다.

고려고 고2수학과외에서 확인한 변화는 특정 점수보다 문제를 대하는 순서에 있었습니다. 앞으로는 수열에서 시작한 조건 확인 습관을 함수와 미분 문제에도 적용하면서, 계산 결과뿐 아니라 왜 그 식을 세웠는지 설명하는 연습을 이어 갈 예정입니다.