금호동 고등수학과외

검수한 고등수학 학습 본문

금호동고등수학과외, 복원추출과 비복원추출의 전체 경우의 수를 구분하는 연습

금호동고등수학과외에서 복원추출과 비복원추출을 다룰 때 중요한 것은 공식의 모양을 외우는 일이 아니라, 한 번 뽑은 것을 다시 넣는지와 결과의 순서를 구분하는 일입니다. 같은 숫자나 물건을 뽑는 문제라도 기록 방식이 달라지면 전체 경우의 수가 달라질 수 있으므로, 문제 문장을 식으로 옮기는 순간을 확인할 필요가 있습니다.

반대로 카드를 넣지 않고 두 장을 차례로 뽑는다면 두 번째에는 이미 뽑은 카드가 남아 있지 않습니다. 첫 번째 3가지, 두 번째 2가지여서 3×2=6가지가 됩니다. 여기서 ‘두 장을 뽑았다’는 말만 보고 두 문제를 같은 식으로 처리하기보다, 문제에 적힌 반환 여부가 두 번째 선택의 수를 바꾼다는 점을 표시하게 하는 것이 필요합니다.

다만 (R,R), (B,B), (Y,Y)가 빠졌는지를 확인해야 합니다. 교사는 ‘R을 뽑은 뒤 R이 다시 나올 수 없다고 생각한 문장이 문제에 있었나, 아니면 다시 넣는다고 되어 있나?’라고 짧게 묻습니다. 학생이 ‘다시 넣는다’를 확인하고 같은 색이 반복된 세 결과를 직접 추가하면, 첫 번째와 두 번째 선택이 각각 3가지라는 식 3×3=9로도 자신의 목록을 점검할 수 있습니다. 목록에 9개가 있고 각 첫 번째 색마다 두 번째 색 3개가 연결되면 완료로 봅니다.

교사는 답을 지우게 하기보다 학생이 쓴 목록에서 (R,R) 세 개에 표시하도록 합니다. 이어 ‘R을 이미 꺼낸 뒤 상자에 R이 남아 있는가?’라고 묻고, 학생이 각 첫 번째 색 뒤에 가능한 다른 두 색만 남기게 합니다. 수정된 목록은 (R,B), (R,Y), (B,R), (B,Y), (Y,R), (Y,B)의 6가지이며 3×2와 일치합니다. 같은 문제를 여러 장 이어서 풀게 하기보다, 이 한 번의 변화에서 두 번째 선택 수가 왜 3에서 2가 되었는지 말하거나 표시할 수 있는지를 확인합니다.

수업 시작 시 준비물이 빠졌다면 준비성을 평가하기보다 어떤 항목이 없어서 어느 활동이 어려운지 구분합니다. 색 카드가 없으면 교사가 카드 그림이 있는 짧은 자료를 보여 주어 경우를 나열하는 활동은 이어 갈 수 있고, 문제 페이지를 찾지 못했다면 학생에게 교재의 단원 제목과 페이지 표시를 다시 찾게 할 수 있습니다. 다음 수업에는 학생이 안정적으로 챙긴 항목은 그대로 두고, 반복해서 빠진 한 항목만 준비 목록의 위치나 표시 방법을 조정합니다.

준비물 범위 역시 수학 자료의 양을 늘리는 방식으로 정하지 않습니다. 학생이 ‘다시 넣는다’와 ‘넣지 않는다’를 문제지에 표시한 뒤 경우를 만들 수 있다면 다음 자료는 선택 대상이 세 개인 짧은 문제 한 장이면 충분합니다. 반대로 같은 색의 반복 가능 여부에서 다시 멈춘다면 계산량을 키우지 않고, 카드 세 장과 기록표로 두 번째 선택에 남는 대상을 표시하는 자료를 한 번 더 사용합니다.

금호동에서 수업 장소와 가능한 시간을 정할 때도, 이동 경로나 생활 리듬을 단정하지 않고 보호자와 학생이 정한 범위를 확인하는 것이 우선입니다. 그 범위 안에서 교재, 색 카드, 기록표 중 학생이 맡을 준비물과 교사가 맡을 자료를 미리 나누면 수업 시작 시 무엇을 확인할지 분명해집니다. 준비가 안정되면 학생에게 맡기는 항목을 한꺼번에 늘리기보다, 다음 수업 자료 한 장처럼 작은 단위로 조정할 수 있습니다.

복원추출과 비복원추출의 핵심은 답의 숫자만이 아니라 두 번째 선택에서 무엇이 가능한지를 문제 조건으로 판단하는 데 있습니다. 수업에서는 학생이 순서쌍, 선택 수 표시, 짧은 근거 중 편한 방식으로 그 판단을 드러내게 하고, 준비물도 그 활동에 필요한 범위만 스스로 맡도록 조정할 수 있습니다.

상담 전에는 현재 사용하는 수학 교재에서 추출 문제가 있는 페이지, 막힌 문제의 실제 풀이, 답을 고친 흔적이 있다면 함께 준비할 수 있습니다. 자료가 많지 않다면 복원인지 비복원인지 표시한 한두 줄의 풀이만으로도, 조건을 읽는 단계와 목록을 만드는 단계를 확인하는 데 도움이 됩니다.

수업을 비교할 때는 교사가 정답만 확인하는지, ‘다시 넣는다’는 문장이 두 번째 선택 수에 어떻게 반영되는지 학생의 풀이에서 확인하는지 살펴볼 수 있습니다. 또한 답을 알려 주기 전에 학생이 빠진 순서쌍을 직접 보완할 기회를 주는지, 필요한 때에는 카드나 기록표를 제공하는지도 확인할 만합니다.

준비물과 관련해서는 학생이 이번 수업에 필요한 교재 페이지와 간단한 활동 자료 중 어디까지 스스로 챙길 수 있는지 구체적으로 정하는 것이 좋습니다. 준비가 어려운 항목은 범위를 줄이고 교사가 맡을 자료를 분명히 하며, 다음 시간에 한 항목씩 다시 맡겨 볼 수 있습니다.