태화동고2수학과외

첫 모의고사에서 학생이 가장 오래 붙잡고 있던 문제는 정작 마지막 문항이 아니었다. 중간 난도의 함수 문제에서 그래프를 해석하는 데 시간이 많이 걸렸고, 결국 뒤쪽 문제는 충분히 읽어보지도 못한 채 시험을 마쳤다. 답을 아예 몰라서가 아니라 식과 그래프를 연결하는 첫 단계가 늦어진 것이 원인이었다. 태화동고2수학과외를 시작할 때도 학생은 “개념 설명을 들으면 알겠는데 문제만 보면 무엇부터 해야 할지 모르겠다”고 말했다.

그래프 앞에서 멈추던 습관

학생은 함수의 기본 성질과 미분 공식은 어느 정도 외우고 있었다. 하지만 도함수의 부호를 이용해 증가와 감소를 판단하거나, 그래프의 모양을 보고 식의 조건을 추론하는 문제에서는 풀이가 자주 끊겼다. 문제를 읽자마자 공식을 찾으려는 습관도 있었다. 식에 숫자가 보이면 바로 계산부터 시작하다 보니 문제에서 요구한 범위와 조건을 뒤늦게 확인하는 일이 반복됐다.

첫 수업에서는 어려운 문제를 많이 풀기보다 최근에 틀린 문제 세 개를 골라 풀이의 출발점을 확인했다. 학생에게 답을 다시 구하라고 하기 전에 “문제에서 주어진 것, 구해야 하는 것, 그래프에서 읽을 수 있는 것”을 각각 표시하게 했다. 그 과정에서 학생이 조건을 읽지 못한 것이 아니라 읽고도 풀이 과정에 반영하지 않았다는 점이 드러났다. 계산 실수라고 생각했던 오답 중 일부는 사실 문제 해석 단계에서 생긴 오류였다.

공식보다 먼저 적어 본 세 줄

이후 함수 문제를 풀 때는 곧바로 미분하지 않고 세 줄을 먼저 적도록 했다. 첫 줄에는 주어진 함수와 범위, 둘째 줄에는 도함수나 그래프에서 확인할 성질, 셋째 줄에는 최종적으로 구해야 할 값을 쓰게 했다. 처음에는 이 과정이 번거롭다며 생략하려 했지만, 생략했을 때와 적었을 때의 풀이 시간을 비교해 보면서 생각보다 시간을 많이 빼앗는 절차가 아니라는 것을 받아들였다.

미분 문제에서도 공식을 외우게 하는 데 그치지 않고, 도함수의 부호가 그래프의 움직임과 어떻게 연결되는지 말로 설명하게 했다. 학생이 설명을 중간에 멈추면 바로 답을 알려주지 않고 간단한 그래프를 직접 그리게 했다. 상승하는 구간과 하강하는 구간을 표시한 뒤 그 구간에서 도함수가 어떤 값을 갖는지 확인하게 하자, 식의 계산과 그래프 해석이 따로 떨어진 지식이 아니라는 점을 조금씩 이해하기 시작했다.

수업에서는 풀리는데 혼자 풀면 다시 막히는 이유를 찾는 데 시간이 꽤 걸렸어요. 예전에는 답지를 보면 다 안다고 생각했는데, 이제는 답지를 덮고 첫 줄부터 다시 써 봐야 이해한 건지 알 수 있다는 걸 알게 됐어요.

한 문제에 쓰는 시간을 정해 두다

모의고사 대비에서는 문제를 많이 추가하기보다 시간 배분을 바꾸는 데 초점을 맞췄다. 학생은 한 문제를 끝까지 해결하려는 성향이 강해서 풀이 방향이 보이지 않아도 10분 이상 붙들고 있는 경우가 있었다. 수업 중 짧은 세트로 문제를 구성하고, 3분 안에 출발점을 찾지 못하면 표시한 뒤 다음 문제로 넘어가도록 연습했다. 단순히 빨리 풀라는 뜻이 아니라, 현재 알고 있는 개념으로 접근할 수 있는지 판단하는 훈련이었다.

처음에는 문제를 넘기는 것을 포기하는 행동처럼 느꼈지만, 뒤에서 풀 수 있는 문제를 먼저 확보한 뒤 다시 돌아오는 방식에 익숙해졌다. 틀린 문제는 정답 여부만 기록하지 않고 다음 네 가지로 나누었다.

• 조건을 식이나 그래프로 옮기지 못한 경우
• 개념은 맞지만 계산 과정에서 부호를 놓친 경우
• 풀이 방향을 찾지 못해 시간을 초과한 경우
• 끝까지 풀었지만 검토하지 않아 실수한 경우

오답을 분류한 뒤에는 같은 유형을 한꺼번에 많이 풀지 않았다. 예를 들어 그래프 해석 문제를 틀렸다고 해서 비슷한 문제 열 개를 연속해서 풀게 하지 않고, 조건이 짧은 문제와 식 변형이 필요한 문제를 번갈아 제시했다. 학생이 어떤 부분에서 다시 멈추는지 확인하기 위해서였다. 수업 시간에 이해한 문제도 이틀 뒤 다시 풀었을 때 첫 줄을 못 쓰는 경우가 있었고, 그때는 새로운 설명보다 문제를 읽는 순서를 다시 점검했다.

내신 준비에서 줄인 것과 남긴 것

학교 시험을 준비할 때는 여러 문제집을 동시에 펼쳐 놓던 방식을 정리했다. 교재 수가 많아질수록 공부를 많이 하고 있다는 느낌은 들었지만, 학교 프린트와 기존 오답을 다시 보는 시간은 줄어들고 있었다. 그래서 현재 진도와 직접 관련된 자료를 먼저 끝낸 뒤, 틀린 문제만 변형해 다시 풀었다. 시험 직전에 처음 보는 고난도 문제를 추가하기보다는 자주 틀리는 함수 조건과 계산 과정을 확인하는 쪽을 택했다.

태화동 고2 수학과외 수업을 진행하며 점수가 한 번에 크게 달라진 것은 아니었다. 오히려 초반에는 풀이를 꼼꼼히 적느라 평소보다 문제를 적게 푸는 날도 있었다. 다만 시험지를 검토하는 방식은 달라졌다. 문제를 읽자마자 계산하지 않고 범위와 조건을 먼저 표시했고, 막히는 문제에 시간을 계속 쓰기보다 표시 후 넘어갔다. 예전처럼 답지를 본 뒤 이해했다고 넘기지 않고, 일정 시간이 지난 뒤 풀이를 가린 채 다시 시작하는 습관도 남았다.

아직 낯선 변형 문제에서는 출발이 늦어지고, 계산이 길어지면 실수가 생기는 편이다. 그래서 다음 목표를 모든 문제를 풀어내는 것으로 잡지 않고, 알고 있는 문제에서 잃는 점수를 줄이는 것으로 정했다. 현재는 미분과 그래프 연결을 유지하면서 모의고사 시간 배분을 계속 연습하고, 내신 기간에는 학교 자료와 기존 오답을 우선 확인하는 방식으로 고2 수학 공부를 이어가고 있다.