광주과학고 고2수학과외

그래프 앞에서 멈추던 고2 학생의 수학 공부 기록

광주과학고 고2수학과외를 시작할 때 학생은 문제를 적게 풀어서 수학이 불안하다고 생각하고 있었다. 책상에는 여러 문제집이 놓여 있었고, 풀이한 흔적도 많았다. 그런데 최근에 푼 문제를 며칠 뒤 다시 건네자 정답을 보았던 문제의 풀이 순서를 거의 재현하지 못했다. 특히 함수와 그래프가 함께 제시된 문제에서는 식을 미분하는 단계까지는 진행했지만, 그 결과를 그래프의 모양이나 구간의 변화와 연결하지 못하고 멈추는 일이 잦았다.

미분 계산 뒤에 남아 있던 빈칸

처음에는 도함수 계산이 약한 학생이라고 판단하기 쉬웠다. 하지만 간단한 다항함수의 미분은 빠르게 처리했고, 부호가 바뀌는 지점도 계산으로는 찾을 수 있었다. 어려움은 그다음에 나타났다. 도함수가 양수인 구간과 음수인 구간을 구해 놓고도 왜 원래 함수가 증가하거나 감소하는지 말로 설명하지 못했다. 극값을 묻는 문제에서도 계산 결과만 적은 뒤, 해당 점이 실제로 어떤 의미를 갖는지 확인하지 않았다.

수업에서는 새로운 문제를 연달아 풀기보다 한 문제를 세 부분으로 나누었다. 먼저 주어진 함수와 요구하는 값을 구분하고, 다음으로 도함수가 알려 주는 정보를 적게 했다. 마지막에는 그 정보가 원래 그래프에서 어떤 모습으로 나타나는지 직접 설명하도록 했다. 학생이 “여기서 미분하면 답이 나와요”라고 말하면 계산을 이어 가지 않고, ‘무엇을 알아내기 위해 미분하는가’를 먼저 문장으로 바꾸게 했다.

식과 그림을 따로 보지 않도록 만든 연습

광주과학고 수학과외 수업 중에는 같은 함수의 식, 도함수의 부호표, 간단한 그래프를 한 장에 배치해 비교하는 시간을 마련했다. 처음에는 학생이 그래프를 그릴 때 축의 위치와 구간을 자주 생략했다. 그래서 정확한 모양을 그리는 것보다 기준점을 표시하는 데 집중했다. 도함수가 0이 되는 값만 찾는 것이 아니라 그 양옆에서 부호가 어떻게 달라지는지 확인하고, 그 변화가 그래프의 방향과 맞는지 점검하게 했다.

이후에는 조건이 조금씩 달라지는 문제를 선택했다. 계수 하나가 바뀌거나 특정 구간만 제시된 경우, 학생은 예전처럼 익숙한 풀이를 그대로 적용하려 했다. 그때마다 문제의 범위를 먼저 네모로 표시하고, 구하려는 것이 전체 그래프인지 일부 구간의 변화인지 구분하게 했다. 계산을 시작하기 전에 요구값과 필요한 개념을 짧게 적는 습관이 생기면서 풀이 첫 줄을 정하는 데 걸리는 시간이 조금씩 줄었다.

공식을 알고 있다는 말과 그 공식을 이용해 함수의 상태를 설명할 수 있다는 것은 서로 다른 능력일 수 있습니다.

오답노트 대신 다시 풀 날짜를 정했다

학생은 틀린 문제를 오답노트에 옮겨 적는 일은 성실하게 했지만, 정작 그 노트를 다시 펼치는 날은 정하지 않았다. 수업에서는 풀이를 길게 베껴 쓰지 않고, 틀린 지점을 ‘도함수 계산’, ‘부호 판단’, ‘구간 해석’, ‘검토 부족’ 중 하나로 표시했다. 그런 다음 같은 날 바로 정답을 확인하지 않고, 풀이를 덮은 상태에서 첫 단계만 다시 적도록 했다.

처음 몇 차례는 계산 오류를 개념 부족으로 착각하는 모습도 있었다. 예를 들어 괄호 앞의 음수를 빠뜨린 문제를 미분 개념이 부족해서 틀렸다고 적었다. 계산식을 한 줄씩 비교하자 어느 부분에서 부호가 사라졌는지가 드러났고, 이후에는 오류 원인을 더 구체적으로 기록했다. 일주일 뒤 같은 문제를 다시 풀었을 때도 완전히 안정된 것은 아니었지만, 적어도 틀린 이유를 설명한 뒤 수정할 수 있었다.

내신과 모의고사 문제를 한꺼번에 늘리지 않기

고2 수학 내신을 준비할 때는 그때 학교 수업에서 다룬 정의와 예제를 우선 다시 확인하고, 풀이 과정을 생략했던 기본 문제부터 점검했다. 변형 문제는 단원 전체를 한 번에 섞지 않고, 함수식 해석과 그래프 판단처럼 한 가지 연결만 필요한 문제부터 시작했다. 시험 직전에 어려운 문제집을 추가하는 대신, 이미 풀었던 문제 중 풀이를 재현하지 못한 것만 골라 다시 보는 방식으로 조정했다.

평소에는 광주과학고고2수학과외 과정에서 모의고사형 문제도 일정량 유지했다. 다만 어려운 문제 하나에 오래 머무르는 습관이 있어, 제한 시간 안에 모든 문제를 해결하려 하기보다 표시를 남기고 다음 문제로 넘어가는 연습을 먼저 했다. 쉬운 문항을 푼 뒤에는 답만 확인하지 않고 식의 부호와 조건을 짧게 검토했다. 이 과정은 점수를 단정하기 위한 것이 아니라, 시간이 부족해지는 원인이 풀이 속도인지 검토 방식인지 구분하기 위한 것이었다.

아직 남아 있는 과제

학생은 이제 미분 공식을 외우는 데서 멈추지 않고, 도함수의 부호가 원래 함수에 어떤 정보를 주는지 말하려고 한다. 그래프 문제에서 축과 구간을 표시하는 행동도 이전보다 자연스러워졌다. 다만 낯선 형태의 함수가 나오면 다시 계산부터 시작하려는 경향이 있고, 시험 기간에 다른 과목 일정이 겹치면 오답 재풀이가 밀리기도 한다. 앞으로는 새로운 유형을 많이 추가하기보다, 풀이를 시작하기 전 조건과 요구값을 확인하는 절차를 유지하면서 함수와 미분의 연결을 계속 점검할 계획이다.